5. パウリの排他率の証明

 いよいよ最終章である。


●粒子はみんな同じ顔

この世界に一つとして同じものは存在しない。工場で大量生産される工業製品がどんなに規格化されていようと、全く同じということはないのである。何か目に見えない傷がついていたり、微妙に重かったり軽かったり。しかし、ミクロの世界では全く同じということがあり得る。というか、原子や素粒子の世界では、同じ種類の粒子は全く同じなのである。「素粒子の表面に傷がついている」などということはないのである。同じ種類の粒子がある場所AとBにあったとしよう。その二つの粒子を入れ替えて、BとAに置き換えたとしても、この世界はその変化に気づかない。なぜなら、最初の世界と全く同じ世界が続いているからである。


●同じ種類の粒子を入れ替える

先ほどの例を波動関数を使って考えてみよう。同じ種類の粒子が二つあるとする。それらの粒子がある場所にいる状態を次のような波動関数で表すとする。

\[ f(\text{粒子1がいる場所}, \ \text{粒子2がいる場所})\]

例えば、粒子1が場所Aに、粒子2が場所Bにあるような状態は$f(A, B)$と表せる。ここで、実際に関数$f(A, B)$がどんな式なのか気になるかもしれないが、全く気にする必要はない。とにかく、波動関数を使ってこんな風に書けるということだけ信じればいいのである。

そして、この二つの粒子を入れ替える。つまり、粒子1を場所Bに、粒子2を場所Aに交換するのである。そんな状態は同じように

\[ f(B, A)\]

と書ける。さて、今回入れ替える粒子は同じ種類の粒子である。つまり、入れ替えても入れ替えなくても現実世界には何の影響ももたらさない。これは、波動関数の大きさが変わらないことを意味する。つまり、波動関数は変化があったとしても、なにか大きさ1の複素数$\alpha$がかかるだけである（つまり、$|\alpha|^2=1$）。

\[ f(B, A)=\alpha f(A, B)\]

このとき、実際に現実世界が認識する確率、つまり波動関数の大きさ、は変わらないことを確かめておこう。

\[ |f(B, A)|^2=|\alpha f(A, B)|^2=|\alpha|^2|f(A, B)|^2=|f(A, B)|^2 \]

確かに、この二つの波動関数の大きさは変わらないことが分かった。粒子を入れ替えると波動関数は確かになにか変化が生じるが、波動関数の大きさは変わらないように変化する。そして、そんな波動関数の変化は、なにか大きさ1の複素数$\alpha$がかかることで達成されるということを認識してほしい。

さらにここで、もう一度粒子を入れ替えることを考える。つまり場所Bにある粒子1を場所Ａに、場所Ａにある粒子2を場所Bに持ってくる。するともう一度複素数$\alpha$がかかる。

\[ f(A, B) = \alpha f(B, A)=\alpha^2 f(A, B)\]

ここで、最初の項と最後の項を比べて、両サイドの$f(A, B)$を割ることで、

\[ \alpha^2=1 \Rightarrow \alpha=\pm1 \]

を得る。つまり、粒子を入れ変えると、波動関数の符号が変わるものと変わらないものがあるということである。実は、フェルミオンとボゾンは、それぞれ$\alpha=-1$と$\alpha=1$に対応する。

フェルミオン：$f(B, A)=-f(A, B)$

ボゾン：$f(B, A)=f(A, B)$


●パウリの排他律

フェルミオンを考える。上記のように、二つのフェルミオンの場所AとBを入れ替えると波動関数は符号が変わるのであった。

\[ f(B, A)=-f(A, B) \]

では、ついにこの粒子を同じ場所に置いてみよう。フェルミオンは本当にお互いを避けるのだろうか？粒子を同じ場所に置いた状態というのは、波動関数の粒子1と粒子2のいる場所を両方とも同じ場所Aにした$f(A, A)$ということである。さて、この値はいくらだろうか。上の式でBにAを代入してみよう。

\[ f(A, A)=-f(A, A) \Rightarrow 2f(A, A)=0 \Rightarrow f(A, A)=0 \]

お分かりいただけただろうか。粒子1と2を両方とも同じ場所Aに置いたような状態の波動関数は0になるのである。粒子1と2両方が同じ場所Aにいる確率は波動関数の大きさで表されるのだった。しかし、それも当然

\[ |f(A, A)|^2 = f(A, A)f(A, A)^*=0\times 0=0 \]

となり、0となる。つまり、二つの同じ種類のフェルミオンが同じ場所に同時に存在する確率は0、そんなことは起こりえないということである。この計算をする際に、電磁気力や重力などの力を一切考えていないことに注目してほしい。なんの相互作用もすることなく、粒子は同じ場所に来れないのである。

いかがだろうか。これが同種粒子が同じ場所に存在しえないパウリの排他律の証明である。使った数学としては簡単な二次方程式くらいであるが、こんなにも深遠な世界の真実を暴けるのである。楽しんでいただけたなら幸いである。





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